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«Soit l'angle droit égal à l'unité, alors les angles A, B, C pourront être 

 exprimés par des nombres compris entre 0 et 2; et puisque C — (p[A, B, p), 

 je dis que la ligne p ne doit point entrer dans la fonction rp. En effet, 

 on a vu que C doit être entièrement déterminé par les seules données 

 A, B, p; et si l'on avait une équation quelconque entre A, B, C, p, on 

 pourrait tirer la valeur de p en A, B, C: d'où il résulterait que le côté p 

 est égal à un nombre, ce qui est absurde; donc p ne peut entrer dans la 

 fonction (f , et on a simplement C-zz(p{A, B).» (Page 373 du mémoire 

 citéj. 



Si l'on admet ce raisonnement, et par suite l'exactitude de l'équation 

 C — (p{A, B), le reste de la démonstration ne souffre plus aucune diffi- 

 culté. 



Plus loin Legendre donne quelques développements sur l'absurdité 

 du résultat que l'on obtiendrait en admettant la dépendance du côté p des 

 angles A, B, C du triangle. Voilà ce qu'il dit â ce sujet: 



«Les trois angles A, B, C*) ne peuvent être donnés que par des nom- 

 bres qui expriment leur rapport avec l'angle droit pris pour unité. Par 



exemple, on peut supposer A~—, B—-^ et Crr;— , auquel cas la 

 somme des angles sera ^ , c. à d. sera égale à deux angles droits moins ^ 



d'angle droit; il faudra donc que la longueur absolue du côté AB soit 

 déterminée par ces trois nombres. Or, l'absurdité d'un pareil résultat est 

 manifeste; car la relation, quelle qu'elle soit, en vertu de laquelle on déter- 



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minerait le côté AB , par le moyen des trois nombres — ? > ' P^"* 

 donner pour AB qu'un nombre entier ou fractionnaire, rationnel ou ir- 

 rationnel; si ce nombre est, par exemple, 12, il ny a rien à en conclure 

 pour la valeur ab.solue de AB, car il faudrait connaître quelles unités de 



*) Pour conserver la figure 6, nous avons changé, dans la citation, D en B el E en C. 



