Considéraiions sur la théorie des parallèles. 103 



longueur sont désignées par le nombre 12, si ce sont des millimètres, des 

 mètres, des pieds, des toises, des lieues, etc. La nature de la question 

 ge donne à cet égard aucune lumière, elle n'indique nullement quelle est 

 l'unité de longueur; et c'est précisément celte absence de toute imite de lon- 

 gueur qui rend absurde le re'sultat dont nous parlons.» (Page 381.) 



C'est le dernier passage souligné qui, à toute force, pourrait peut-être 

 présenter des doutes. Entrons dans quelques détails à ce sujet. 



Considérons un angle aigu BAC (fig. 15), et des différents points 

 M, M', M", etc. de son côté AC , abaissons sur AB les perpendiculaires 

 MN, M'N', M" N' , etc Cela posé, il arrivera nécessairement de deux 

 choses l'une: ou la distance du point A au pied de la perpendiculaire MN 

 croîtra au-delà de toute limite à mesure que le point M, pris sur le coté 

 AC de l'angle BAC, s'éloignera de ou bien cette longueur AN conver- 

 gera vers une limite déterminée, par exemple vers AQ. Nous allons faire 

 voir qu'admettre la première hypothè.se, c'est admettre immédiatement le 

 postulatum d'Euclide, et par conséquent toute la théorie des parallèles. 

 En effet, portons sur AB une longueur AP, prise à volonté, et élevons la 

 perpendiculaire FD; l'oblique AC coupera nécessairement PD, puisqu'il 

 existera une infinité de perpendiculaires, telles que M ''N'", pour lesquelles 

 la distance AN'" sera plus grande que AP. De cette manière la première 

 hypothèse nous conduit à une démonstration de la théorie des parallèles, 

 réduite, on peut le dire, au dernier degré de simplicité. Il est aisé de 

 voir qu'on pourrait démontrer, avec la même facilité, toute autre propriété 

 caractéristique des parallèles. Pour appuyer l'exactitude de l'hypothèse que 

 nous venons d'employer, ou, ce qui revient- au même, pour montrer l'im- 

 possibilité de la seconde, on peut avoir recours aux arguments de Le- 

 gendre, rapportés plus haut dan.s les deux citations. Ainsi on dira que, 

 si l'on admettait l'existence de la limite JQ (fig. 15), cette longueur AQ 

 se ti'ouverait complètement déterminée par la grandeur de 1 angle BAC-^ 



