Considérations sur la théorie des parallèles. lO.î 



silence^ les arguments de Legendre contre la possibilité de l'existence 

 d'une longueur absolue^ déterminée par des angles^ ne paraissent pas en- 

 tièrement concluants. 



Nous avons déjà observé plus haut que la démonstration dont nous 

 parlons dans ce paragraphe, est toute fondée sur l'impossibilité de déduire 

 d'un angle une longueur absolue quelconque. Tant que cette impossibilité 

 ne sera pas établie rigoureusement, il n'y aura rien à conclui-e. En effet, 

 reprenons l'équation C~(f[A, B, p), que Legendre regarde comme im- 

 possible; on pourra objecter que l'angle A, par exemple, donnant naissance 

 à une certaine longueur q, cette longueur q entrera également sous le 

 signe de la fonction 99. On pourra alors prendre pour C une expression 



de la forme Czz^^J, B, qui ne présente rien de contradictoire, puis- 

 qu'elle ne renferme que le rapport y de deux lignes, égal à un nombre 



abstrait. Paur ce qui regarde Vunité linéaire^ au moyen de laquelle p, q 

 ou toute autre longueur s'exprime, on pourra, si l'on veut, supposer que 

 c'est la limite vers laquelle converge la longueur AN (fig. 15), mesurée à 

 partir du sommet A jusqu'au pied N de la perpendiculaire MN, lorsque 

 l'on prend pour BAC un angle aigu déterminé, un demi-droit par exemple. 

 Ainsi, si l'on désigne par q la longueur limite AQ relative à l'angle A, on 

 pourra prendre q—f[A). En représentant donc par d un angle droif, 

 cette fonction satisfera d'abord à la condition f{{d)—\. De plus, il est 

 facile de voir que la même fonction satisfait aussi aux deux conditions sui- 

 vantes : f{d) — 0 et /(O) =: 00. 



Telles sont nos remarques sur cette démonstration. Si on ne les trouve 

 pas suffisemment fondées, du moins on tirera des considérations que nous 

 venons d'exposer, une démonstration de la théorie des parallèles, réduite 

 au plus grand degré de simplicité; c'est ce que nous avons déjà fait voir 

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