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au commencement de ce paragraphe en traitant directement le postulatum 

 d'Euclide. 



6. Nous venons de passer en revue les principales démonstrations de 

 la théorie des parallèles^ en tâchant de faire voir qu'aucune d'elles ne peut 

 être considérée comme entièrement satisfaisante. Il est donc fortement à 

 présumer que cette doctrine exige l'emploi d'un principe qui ne s'est pas 

 encore présenté aux géomètres. Après un examen attentif de la question 

 des parallèles, nous croyons pouvoir affirmer que, pour en donner une 

 démonstration entièrement rigoureuse^ il faudrait trouver le moyen de faire 

 subir à tous les points d'une figure quelconque, ou bien, si la chose paraît 

 plus simple^ à tous les points d'une droite indéfinie, une même opération 

 ge'ométrique. De cette manière on ne pourra rien dire d'un point qui ne 

 se rapportât également aux autres, après quoi le principe de la raison suffi- 

 sante nous conduira immédiatement à une démonstration entièrement rigou- 

 reuse. Au reste, au lieu de considérer tous les points d'une droite indé- 

 finie, il suffirait de ne tenir compte que de la série des points e'quidistants, 

 pris sur cette même droite, prolongée indéfiniment dans les deux sens. 

 Pour nous mieux faire entendre, nous allons exposer une démonstration, 

 fondée sur le principe dont nous parlons, mais dans laquelle l'opération 

 n'est pas géométrique, car elle exige une notion sur les forces, du reste 

 %rt élémentaire. 



Soit une droite AB (fig. 16), indéfinie dans les deux sens. Partageons 

 par la pensée toute cette droite en une infinité de portions égales aa, àa , 

 a a , a 'a'^, etc. Si l'on suppose que cette droite est matérielle, et qu'on 

 applique à tous les points de division a, a, a", a" , perpendiculaire- 

 ment à AB, des forces égales, que nous représenterons par P, cette droite 

 prendra un certain mouvement dans le sens des forces. Gela posé, arrê- 

 tons ce mouvement après un certain temps; supposons, par exemple, que 

 la droite ait pris alors la position A'B'. Il est clair, par le principe de la 



