116 ,' BOUNIAKOWSKY 



et en opérant les deux changements possibles sur la seconde tranche 



M, 



on obtiendra 2{k -3) systèmes à trois changements. Il est facile de voir 

 qu'en conservant toujours à la première place, et en opérant les trois 

 changements possibles sur la troisième tranche, on obtiendra 3(/r — 6) sy- 

 stèmes. En effet, si l'on remplace par Lg, on aura les A: — 6 systèmes: 



M,L,L,M,L,L,M^L, L, 



M^L^L,M^L^L,L,M^L^ 



M,L,L,M,L,L,L,LJI,L,, L, 



M^L,L,M,L,L,L,L,L,M,L,, L, 



M,L,L,M,L,L,L,L,L,L,JI,L,, . . . . L, 



M,WI,L,L, L,_,M^ 



On obtiendra également k — 6 systèmes en remplaçant par M^, et 

 ^ — 6 autres en remplaçant par M^, ce qui fera en tout 3 {k — 6) sys- 

 tèmes relatifs à la troisième tranche. 



On verra de même qu'en variant les équations de la quatrième tranche, 

 toujours dans l'hypothèse que est remplacé par M^, le nombre des 

 systèmes nouveaux, à trois changements, sera k {k — 10), et ainsi de suite. 

 Donc le nombre total de systèmes à trois changements, que l'on obtient 

 en changeant en ~ 0 l'équation Lj — 0 du système primitif, sera ex- 

 primé par la somme: 



2(^-^3) + 3(^- 6) + ^(Â:— 10) + .... + (m — (Â: — m)]. : 



Après avoir ainsi épuisé les combinaisons à trois changements, com- 

 mençant par M^, passons à la détermination de celles qui commencent par 

 L^M^ Si l'on remplace par M^, on aura les A- — 6 systèmes: 



i- 



