118 POUNIÀKOWSKY 



On verra absolument de la même manière que le nombre total des 

 systèMjes à trois changements, obtenus en commençant la variation des 

 équations par la troisième tranche , c'est-à-dire en commençant par 



L,L,L^M,. . . L^L^L.L^M^. . . ., L^L,L,L,L^M^. . . ., 

 sera exprimé par 



3 [^f (A- _ 10) -f 5 (/c— 15) + 6 (A- - 21) + .. . . + (m - 1) [yt - (/t - m)]], 

 et ainsi de suite jusqu'à l'avant-pénultième tranche, pour laquelle on aura 



(m — 2) [(fM—l) [k—ik — m)]^ — (m — 2) (m - 1) m 

 systèmes distincts. Nous ne poussons le calcul que jusqu'à l'avant-pénultième 

 tranche, parce qu'en commençant la variation des équations par l'avant der- 

 nière tranche, ou par la dernière, on n'obtiendrait que des systèmes soit 

 à deux changements, soit à un seul. 



En réunissant tous les résultats que nous venons d'obtenir pour les 

 systèmes à trois changements, nous aurons 



N,-2{k 3) + 3(A:-6)-f-4(A— 10)4-.-. -f- (m - 1) [A - (/t - m)] 



-f 2[3(Â:-6)-f 4(Â:-10)4-5(/:-l5) + ....-f (m-l)[^_(A--m)]] 



+ 3 [^^ (A - 10) -f 5 (A - 15) 4- (m - 1) [k - (A _ m)]] 



+ 



4- (m -2)[(m-l)[/c — (Â: — m)]]. 



Pour avoir une expression finie de cette somme, nous commençons par lui 

 donner la forme 



iV, = 2(Â:-3).l 



-h3(/c-6)[l+2] 



-|.4(A:-10)[1 -f 2 + 3] 



+ 5 (^-15) [1+2+ 3+ 4] 



+ . . 



^[m~i)[k~{k-m)] [1 +2 + 3+J^ + .... + (m-2)].J 



