Solution (Tun problème sur les combinaisons. 1 19 



Si l'on observe actuellement que 



, ni(rn-{-\) m{m-\) 



le dernier terme de cette série sera 



( ^ _ 1 ) (A- - 'i^) [ 1 2 -f 3 + 4 -f . . . . 4- (m 2 )] 



A-._ 



Le terme qui suivra le dernier, et que l'on obtiendra en changeant m — 1 

 en m, se réduii'a simplement à 



k- ^— 4 

 En prenant l'intégrale finie de cette expression de manière à ce que l'in- 

 tégrale s'évanouisse pour m — \, on aura la valeur de N^. Donc 



iv,=^^ °''";-'^ -r "-'"";-' >. 



Effectuant les Intégrations indiquées, et remplaçant A- par sa valeur ^^^^^^tL\ 

 on obtiendra, toute réduction faite, 



A— + -"ra""'""^ (3) 

 en observant que la constante se réduit à zéro. 



On déterminera de la même manière les nombres ]S^, etc. jusqu'au 

 dernier N,,,, dont l'expression sera très simple. En effet, comme iV,„ ex- 

 prime la totalité des combinaisons que l'on obtient en introduisant dans 

 chacune des tranches une nouvelle équation, ce nombre sera évidemment 

 1.2 3.. ..m. Donc 



^;.-^l-2.3 m. (k) 



La question que nous nous sommes proposée est ainsi résolue, car le 

 nombre des systèmes distincts, y compris le système primitif, sera repré- 

 senté par la somme 1 -j- -^i -h ^2 -h ^3 "l" • • • • + ^m- l'on désigne donc 

 ce nombre par S, il sera donné par la formule 



5z=l+iV, + iV,^-iV,+ + iV„., (5) 



