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les nombres IS^, N^, N^....N,„ étant déterminés par les é(fuations (1), 

 (2), (3) 



On peut encore parvenir à la valeur de S de cette autre manière, qui 

 est plus simple, et qui offre d'ailleurs des expressions plus élégantes pour 

 chacun des nombres N^, N^. . . . N„j_^, N,^_^. 



Nous venons déjà de trouver la valeur de iY,„; pour trouver celle de 

 ■^/H-i moyen de iV,,^, nous opérons de la manière suivante: puisque 

 ^m-i représente le nombre des systèmes à m — 1 changements, il faudra, 

 dans chaque système à m changements, en retrancher ixn, et examiner à 

 quel nouveau nombre de combinaisons cela donne Heu. Si l'on retranche 

 un changement dans la dernière, c'est- à dire dans la m-ième tranche, on 

 obtiendra systèmes, car M^, , dans cette tranche, a successivement occupé 



les m places k - ni -\- i , k — m -{-2, k — m + S jusqu'à k. Si l'on 



retranche un changement dans lavant-dernière tranche, on formera évi- 

 demment combinaisons; l'àvant-pénultième tranche, en y retranchant 

 un changement, c'est-à-dire en y remplaçant l'équation M^^^_^—0 par l'une 

 des m — 2 équations primitives en X, donnera lieu à -^^^ combinaisons, 



et ainsi de suite, jusqu'à la première tranche, pour laquelle le nombre de 



N 



combinaisons montera évidemment à iY,„ — -j^' En réunissant tous les 

 résultats que nous venons de trouver, nous aurons 



^„.-. = VV„(A + _'^ + --L_4. (6, 



De là nous concluons que iV,„_j sera égal à la somme de tous les pro- 

 duits que l'on obtient avec les nombres de la séi'ie 1, 2, 3 . . . . m, pris 

 (m — 1) à (m — 1). 



Pour trouver Jy,„_^, il faudra successivement retrancher deux change- 

 ments de chacun des systèmes à m changements, ensorte qu'il n'y aura 

 qu'à faire la somme des différents quotients que l'on obtient en divisant iV,,^ 



