Solution d'un problème sur les combinaisons. 121 



par chacun des doubles produits formés avec les nombres 

 i, 2, k (m— 1), m. 



On aura donc 



- a {^m{m — \) ~^ m{m-1) ~^ m{m-'S) ^ ^ [m- \){m-2.) ~^ 



I j 1 1 1 \ 



{m-V){m-Z)~^ {m~\).\^ ^ 3~2 sTi sTï) ' ^'^) 



Ainsi iV,„_ 2 représentera la somme des produits des nombres 1, 2, 3... m, 

 pris (m — 2) à (m — 2). 



Pour obtenir iV,,, _3 l'on fera la somme des différents quotients prove- 

 nant de la division de iY,„ par chacun des triples produits des nombres 

 1, 2, 3 (m - 2), {m 1), m, et l'on trouvera en conséquence 



TV —N ( * \ 1 1 V 



(m-l)(w-2)(;« — 4)^"* * * ■ ~^4.3.2~l~4.3.1 372^)' 

 formule, dans laquelle on pourra, si l'on veut;, remplacer le second membre 

 par la somme des produits des nombres 1, 2, 3 . . . . m, pris [m — 3) à 

 (m — 3). 



On continuera de la sorte jusqu'à JS^, dont la valeur se réduira à la 

 somme des doubles produits de la série des nombres 1, 2, 3.... (m — 1), m, 

 et qui sera par conséquent 



iV2 = m(m — 1) -H m (m — 2) -f 4-m.2-f m.l 



-l-(m- l)(m — 2) + (m — l) (m - 3)4-....-f-(m — l).l 



+ 



+•3.2+3.1 

 H-2.1. 



Si l'on somme cette série, on arrivera au résultat que donne la for- 

 mule (2), c'est-à-dire à 



2— 2.3.4 



4» 



