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D'après ce que l'on vient de voir, l'on pourra immédiatement dé- 

 terminer la totalité des systèmes distincts, c'est-à-dire le nombre S, 

 sans passer par les quantités auxiliaires N^, N^, A, . . . . iY,„. En effet, 

 comme S doit représenter la somme de tous les nombres 1, 2, 3... m et 

 de tous leurs produits deux-à-deux, trois-à- trois. . . . (m — 1) à (m — 1), 

 enfin m à m, qui est unique, on aura évidemment 



5 — (1 -f- 1) (1 + 2) (1 -f 3) .... (I -f m) - 2.3.4 ... (m -f- 1). (9) 

 On peut observer que, quoique les nombres iV^ , N^, N^, N^.. . pris 

 isolément, se compliquent de plus en plus, néanmoins leur somme s'ex- 

 prime très simplement par la formule (9). 



Il ne sera pas difficile actuellement de généraliser ce que nous venons 

 de dire. En effet, supposons que dans -le système primitif il y ait u équa- 

 tions M/ = 0, il//' — 0, M/" 0 ilf/">ni 0 dont chacune ne dépende 



que d'une seule égalité distincte de ce système primitif; ainsi^ par exemple, 

 M/mO dépend de = 0, M/'^O de X/'r^ 0,....M/"'r= 0 de X/">— 0. 

 De même, admettons que M/r:0 dépende des deux équations Z^'— 0 et 

 Z/— 0; M/'rzO de Z/'r^ 0 et L^'—Q, ainsi de suite jusqu'à M^^^^^ 0, 

 qui dépend de Z^^^^'nr 0 et Zg^^^^zi^O. Soit y le nombre d'équations en M 

 qui dépendent de trois équations en Z, et ainsi de suite. Enfin, soit v le 

 nombre des équations iU„/— 0, M^' zniO M,,/''^~0, dont chacune dé- 

 pend de m équations en Z du système primitif. D'après ce que nous ve- 

 nons de voir, il sera facile de conclure, que comme le nombre maximum 

 de changements possibles dans le cas actuel est égal à a fi .. -\- v, 



l'on aura en conservant la même notation que plus haut 



^«+/3+,+...4-. = 2^^- 3^ . . . (m - If . m\ 

 Il n'est pas moins évident que pour trouver N^_^^j^^^ .h-v-i ' faudra 

 d'abord chercher tous les quotients que l'on peut obtenir en divisant 

 par chacun des nombres de la série i, 2, 3 . . . . m ; on mul- 

 tipliera ensuite par a le quotient qui se rapporte au diviseur i, par /? celui 



