Solution d'un problème sur les combinaisons. 123 



qui correspond au diviseur 2, par y celui qui corréspond au diviseur 3, 

 ainsi de suite jusqu'au quotient qui se rapporte au diviseur m, et qu'on 

 devra multiplier par v. La somme de tous ces produits représentera le 

 nombre cherché N^_^^^.j^...^^^. On aura donc 



On arrivera avec la même simplicité à la valeur de iYf^^_^_^y_| ^vi» 



qui sera donnée par la formule 



^ 1 ^^^^ I I »■" j____L__i_ 



m(m-ï) 



22 "t-^^ , 1^ 



{m-\){m--î) ' ' (77,— ' ' 22 



dans laquelle les dénominateurs comprennent tous les produits des nombres 

 de la série 1, 2, 3. ... m, pris deux-à-deux, y compris les cax'rés de ces 

 mêmes nombres. 



On n'aura aucune peine à former cette expression. En effet, considérons 

 le nombre de combinaisons que l'on obtient en retranchant deux change- 

 ments dans l'ensemble des v dernières tranches, dont chacune est composée 



de m équations. Si l'on divise N^_^^^^_^ par ni'', l'on aura évidemment 



le nombre des combinaisons cherchées pour deux tranches déterminées sur 

 un nombre total de v tranches. Mais comme ces v tranches, prises deux- 

 à-deux, donnent lieu à ^ combinaisons, il s'en suit que le produit 



771* * 2 



représentera la totalité des systèmes à«-|-/5 V 7 — 2 change- 



ments que l'on pourra obtenir en excluant doux changements , seulement 

 dans les v dernières tranches, dont chacune contient m équations. 



Si l'on retranche un changement dans les v dernières tranches, et le 

 second dans les ^ avant-dernières, dont chacune est formée de m — 1 

 équations, il faudra diviser N^^^_^^^„„^^ par le produit m (m — 1), et 



