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BOUNIAKOWSKY 



à le croire, seront parfaitement saisies, et obtiendront la sanction des per- 

 sonnes qui se sont elles mêmes occuppées de la question célèbre des paral- 

 lèles, si longtemps débattue par les géomètres. 



Toutes les méthodes employées jusqu'ici pour la démonstration de la 

 théorie des parallèles (je ne parle que des tentatives qui ont droit à être 

 citées), peuvent, si je ne me trompe, être partagées en quatre espèces, eu 

 égard au principe sm' lequel elles reposent. " 



1". Le principe de la comparaison des espaces infinis, soit angulaires, soit 

 biangles. Dans le Mémoire cité plus haut^ je crois avoir suffisamment dis- 

 cuté les difficultés graves auxquelles l'application de ce principe donne lieu. 

 Les démonstrations fondées sur la considération des espaces infinis ont non 

 seulement l'inconvénient de laisser du vague dans l'esprit et d'emprunter 

 des idées tout -à- fait étrangères à l'objet que l'on a en vue, mais encore 

 sont loin d'être à l'abri des objections. Ainsi, malgré la simplicité de ces 

 sortes de démonstrations, elles doivent être rejetées ne pouvant satisfaire 

 les géomètres par manque de clarté et de rigueur. 



2". Le second principe qui pourrait mener de plusieurs manières à des 

 démonstrations très simples de la théorie des parallèles, consiste à admettre 

 qu'un angle déterminé ne peut donner naissance à une ligne droite dune 

 longueur fixe *). Mais cette hypothèse, malgré tous les arguments dont on 

 a cherché à l'appuyer, ne nous semble pas avoir un caractère d'évidence 

 suffisante pour être admise gratuitement. Et en effet, la démonstration de 

 cette proposition, si l'on y réfléchit, doit présenter des difficultés au moins 

 égales à celles de la théorie des parallèles, parce que le principe en que- 

 stion a lui -môme plus de généralité que n'en exige l'objet auquel on le 

 fait servir. Les raisonnements dont on appuie ordinairement cette hypo- 

 thèse, ne mettent pas une différence décisive entre un angle rectiligne et 



*) F'oir le rfi S du Mémoire cité plus haut. 



