Noui^elle théorie des parallèles. 209 



un angle mixte, dont un côté serait une droite^ et l'autre une branche de 

 courbe. Dans ce dernier cas, l'angle déterminerait néjjessairement une lon- 

 gueur fixe qiii serait, par exemple, soit un pai'amètre de la courbe qui 

 forme un côté de l'angle, soit une certaine fonction de ce même paramètre 

 ou de plusieurs autres. En tout cas observons que, le principe dont nous 

 parlons, outre son manque d'évidence, est encore trop abstrait et trop mé- 

 taphysique pour trouver place dans la Géométrie élémentaire, et je crois, 

 qu'en définitif, on admetti-a plus facilement soit le postiilatum d'Euclide, 

 soit toute autre vérité fondamentale de la théorie des parallèles, que la 

 proposition abstraite dont il vient d'être question. 



3°, Le troisième procédé de démonstration qu'on a tenté, est celui des 

 constructions directes. Telle est, par exemple, la marche suivie par Le- 

 gendre pour prouver le théoi'ème sur la somme des trois angles d'un tri- 

 angle; sa construction est fondée sur la décomposition du triangle primi- 

 tif en une suite d'autres, dont chacun est équivalent au premier pour la 

 somme de ses angles. Dans le Mémoire cité plus haut j'ai fait voir en 

 quoi cette démonstration, toute ingénieuse qu'elle soit, paraissait manquer 

 'de rigueur. Beaucoup d'autres tentatives, également fondées sur des con- 

 structions directes, ont été faites sans qu' aucune d'elles ait pu atteindre 

 à la rigueur géométrique. 



k^. Enfin, on a essayé de faire entrer dans les démonstrations de la théo- 

 rie des parallèles la notion des forces et du mouvement. La première, comme 

 entièrement étrangère à la Géométrie, rie doit pas être admise. Quant au 

 mouvement considéré sous le point de vue purement géométrique ^ il ne 

 peut certainement être d'aucun secours dans la question dont il s'agit. 

 Tous les raisonnements fondés sur des notions cinethmiques pourront tou- 

 jours être remplacés par des constructions, et présenteront le même genre 

 de difficulté que l'application directe de la troisième méthode. 



En examinant, avec quelque attention, la théorie des parallèles on s'a- 



