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BOUNIJKO WSKY 



perçoit de suite qu'on peut la faire dépendre en entier d'une des proposi- 

 tions nombreuses soit sur les lignes obliques ou sur les parallèles, soit sur 

 les triangles ou figures rectilignes quelconques. On pourrait citer un grand 

 nombre de ces propositions caractéristiques; mais, quelle que soit celle que 

 l'on prenne pour point de départ , on sera conduit en définitif à des diffi- 

 cultés qui auront toujours la même source. Le plus souvent c'est le po- 

 stulalum d'Euclide, ou bien la proposition sur la somme des trois angles 

 d'un triangle qui sert de base à ces sortes de recherches. 



Lorsque l'on s'attache à démontrer le postulatiim d'Euclide, on tombe 

 sur des difficultés qui, en y refléchissant bien, résident en entier sur ce 

 que l'on ne distingue pas d'une manière explicite l'oblique qui doit rencon- 

 trer la perpendiculaire, d'avec une courbe tournant sa convexité vers cette 

 même perpendiculaire. De cette manière, rien ne s'oppose à ce que les 

 deux lignes inclinées l'une par rapport à l'autre, ne se rencontrent jamais. 

 En effet, puisque l'hypothèse de la forme courbe et en même temps con- 

 vexe n'est pas écartée explicitement, fien n'exclut le cas où la perpendicu- 

 laire serait, par rapport à cette oblique, dans les mêmes circonstances 

 qu'une asymptote relativement à une branche infinie de courbe. C'est en 

 cela, à notre avis, que réside la difficulté principale. Si l'on fait dépendre 

 la théorie des parallèles du théorème sur la somme des trois angles d'un 

 triangle, l'insuffisance des méthodes ordinaires se manifeste encore de la 

 même manière, c'est - k - dire qu'en cherchant à démontrer que la somme 

 des angles d'un triangle ne peut pSs être inférieure à deux droits, les rai- 

 sonnements qu'on emploie, n "excluent pas explicitement la possibilité que 

 les trois côtés de ce triangle, ou deux d'entr' eux, ou un seul côté n'aient 

 pas la forme d'un arc de courbe convexe vers l'intérieur du triangle. On 

 sait parfaitement d'ailleurs que la possibilité de la for.me concave se trouve 

 écartée par le fait, pnisqu' on démontre, en toute rigueur, que la somme 

 des trois angles d'un triangle no peut pas être supérieure à deux droits. 



