Noui^elle théorie des parallèles. 211 



Ayant ainsi constaté le point de difficulté, il a fallu chercher un moyen 

 de l'écarter. Ce qu'il y aurait eu de plus naturel pour cela, eût été 

 d'exclure, de prime -abord, toute différence possible entre une droite et la 

 courbe convexe dont nous avons parlé plus haut; mais ce moyen, avec les 

 seules notions sur la droite que l'on suppose dans la Géométrie élémen- 

 taire, ne paraît pas être facile à trouver. J'ai donc tâché de faire dispa- 

 raître la difficulté d'une autre manière. Dans chacune des deux nouvelles 

 méthodes que je vais exposer, je commence par démontrer une proposition 

 sans exclure la forme courbe des lignes que l'on y considère. Ensuite, en 

 passant d'une certaine manière à la limite, on exprime que ces lignes, dont 

 on n'a pas d'abord caractérisé la nature, tendent toutes vers la forme d'une 

 droite. Gela une fois établi, il ne reste plus aucune difficulté dans la 

 théorie des parallèles. La marche qui vient d'être indiquée, est complète- 

 ment éclaircie par les Remarques qui accompagnent l'exposition de chacune 

 des deux méthodes. 



En terminant ces préliminaires j'observerai que mes deux démonstra- 

 tions sont très élémentaires, et ne contiennent rien d'abstrait. Tout ce qui 

 vient d'être dit relativement à la droite qui pourrait, in abstracto , affecter 

 la forme d'une courbe convexe, n'est que pour les géomètres, et n'entre 

 en rien dans ce qui est destiné aux commençants. Ainsi, sauf peut-être 

 quelques légères modifications à apporter dans notre exposition, et qui ne 

 présenteront aucune difficulté à ceux qui ont l'habitude de l'enseignement 

 de la Géométrie, nos méthodes pourront entrer dans les éléments de cette 

 science, et, nous l'espérons, rempliront une lacune qui, quoique depuis 

 longtemps signalée, n'a pas encore été remplie jusqu' ici d'unej manière 

 tout - k - fait satisfaisante. ' 



2. N^ous commencerons par la démonstration de la propriété caractéri- 

 stique de l'équidistance des parallèles, pi'opriété de laquelle découle immé- 

 diatement toute leur théorie. 



