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BOUNIAKOWSKY 



PROPOSITION I-ère. 



Soient AL et BK (Fig. 1) deux parallèles, c'est-à-dire deux droite^ 

 perpendiculaires à la ligne AB, que nous appellerons base pour abréger le 

 discours. Si, à partir des points A et B, on porte deux longueurs A A' et 

 BB' , égales entr'elles, et que l'on joigne A' et B' par la droite ÂB' , je 

 dis que cette ligne AB' ne pourra pas être plus petite que la base AB. 



Démonstration. Prolongeons indéfiniment la base AB, et faisons 

 BCzzCD = DE — . . .—AB. Des points de division C, D, E . . . éle- 

 vons des perpendiculaires, sur lesquelles nous porterons des longueurs CC, 

 DD', EE' . . . toutes égales à JA'. Joignons ensuite B' avec C, C avec 

 D' , D' avec E' etc. Il est évident que les longueiirs A'B', B'C, CD', D'E' . . . . 

 seront toutes égaies entr' elles. Soit c leur valeur commune, a la base 

 AB, et b la hauteur A A' ~BB' ~ CC — . . . — EE'. Supposons de plus 

 que le nombre des divisions égales AB, BC, CD, DE . . . ., portées sur 

 AE, soit m. Par la nature de la ligne droite la longueur AE sera plus 

 courte que le contour AA'B'C D'E'E\ on aura donc 



AA' + AB' + BC ^ CD' -f D'E' + E E > AE. 



Or 



AA — E'E — b, AÏÏ zn B'C r-. CD' =: . . . — c, AE—ma; 



donc 



2Z> -1- 7JIC > ma, 



d'oïl résulte 



Cette inégalité fait voir d'une manière évidente que l'hypothèse c<o 

 est inadmissible; en effet, s'il était possible de supposer cma — D, D dé- 

 signant l'excès de a sur c, on aurait 



