ISoui^elle théorie des parallèles. 1\1 



m 



OU bien 



m 



ce qui ne peut avoir lieu parce que m pouvant être pris aussi grand que 

 l'on voudra, la fraction —5 dont le numérateur est constant, finira par de- 

 venir plus petite que toute quantité assignable. Donc, la droite A'B' ne 

 peut être supposée plus petite que la base AB. 



Corollaire. Si du point A (Fig. 1) on abaisse sur BB' la perpendi- 

 culaire A'P, cette perpendiculaire, également, ne pourra pas être plus pe- 

 tite que la base AB. Cela suit de ce que A' l\ comme perpendiculaire sur 

 BB\ est nécessairement plus courte que l'oblique A'B' , menée par le même 

 point A' jusqu'à la rencontre de la ligne BB'. Nous supposons que la 

 di'oite A'B' est une oblique par rapport à BB' , car si l'on admettait la coin- 

 cidence des deux droites A'B' et A'P , on en conclurait de suite toute la 

 théorie des parallèles. En effet, les deux angles AA'B' , BB'A' étant droits 

 dans cette hypothèse, Ion démontrerait immédiatement et la proposition 

 sur l'équidistance des parallèles, et les autres propriétés de ces lignes. 



"Remarque. La proposition qui vient d'être démontrée revient, pour le 

 fond, à celle qui établit l'impossibilité que la somme des trois angles d'un 

 triangle soit supérieure à deux angles droits. La démonstration de cette 

 propriété, comme on le sait, n'a présenté aucune difficulté. Passons actu- 

 ellement à la seconde proposition, laquelle, sous quelque forme qu on l ait 

 présentée, a toujours été sujette à des objections plus ou moins graves. 



PROPOSITION ll-ème. 



Soit, comme plus haut. AL et BK (Fig. 2) deux parallèles dont la base 

 est AB—a. Sur la droite AB prolongée, portons des distances BC , CD, 



