21^ BOUNIAKOWSKY 



DE.... égales k AB, soit m le nombre de ces divisions. De plus, pre- 

 nons sur la ligne AL une longueur AA' — h, et du point E élevons la 

 perpendiculaire EE' —AA' — h. Joignons ensuite les points extrêmes A' 

 et E' par la droite AE . Si des points intermédiaires C, D .... on élève 

 des perpendiculaires, elles couperont la ligne AE' en certains points 

 C, U . . . . De cette manière, la ligne A E' se trouvera partagée en m par- 

 ties AB , B'C , .... D'E', qu il faudra supposer inégales entr'elles. Soit 



AB — c„ BC — c^, CD — c,, DE — c„, 



Oela posé, je dis que parmi les longueurs Cj, c^, c, . . . . c,„ il s'en trou- 

 vera au moins une qui, pour des valeurs croissantes de m, convergera vers 

 une limite aussi approchée de la base a que l'on voudra. 



Démonstration. Puisque la ligne AE est une droite, elle sera plus 

 < ourte que la somme des trois lignes droites A' A -\- AE -f- EE'. On aura 

 donc 



^1 + + C5 H- . . . -j- c,„ < ma -f 2b. 



Pour raisonner dans l'hypothèse la plus générale, il faut supposer que 

 les longueurs c^, c^, Cj . . . . peuvent être: 1° toutes inégales entr'elles, 

 en allant indifféremment d'une des extrémités A' ou E vers le milieu de 

 la droite AE\, 2° que seulement quelques unes d'entr'elles sont inégales, 

 et enfin 3" que toutes ces parties sont égales. Nous comprendrons ces 

 trois cas dans un seul en représentant pour cela par c la plus petite des 

 longueurs Cj, c^, . . . . c,„ s'il y en a d'inégales entr'elles, et en conser- 

 vant la même dénomination c pour leur valeur commune, si elles sont 

 toutes égales. 



Remplaçons, dans l'inégalité précédente, chacune des longueurs c^, c^, 

 . . . par la plus petite c: nous aurons 



mc<c,-hc,-fc,-H- . . . + c„,. 



