Nouvelle théorie des parallèles. 215 

 et par conséquent aussi 



me < ma -\- 2b, 



d'où résulte 



c<a-f-. 



Or, en vertu du Corollaire de la 1-ère Proposition, c ne pourra pas être 

 inférieur à o; donc la valeur de c, c'est-à-dire la plus petite des m 

 longueurs A'B, BC , CD , . . . D'E' restera constamment comprise entre les 

 deux limites 



a et a-\ • 



Mais, puisqu'on faisant croître indéfiniment le nombre m, la fraction — 



m 



peut être rendue plus petite que toute quantité donnée, il en faudra con- 

 clure qu'il existe nécessairement une valeur de c, aussi approchée de a 

 qu'on voudra, en conséquence de quoi l'on pourra prendre, en toute ri- 

 gueur, c — 0. 



De cette manière se trouve établie l'existence d'une certaine ligne, abou- 

 tissant aux deux parallèles que l'on considère, et dont la longueur est égale 

 àj,la base. Nous verrons tout- à -l'heure quelles sont les conséquences qui 

 découlent de cette vérité. 



Remarque. Ce qui vient d'être démontré est le point capital, et en 

 même temps le seul qui aît donné lieu à des difficultés dans la théorie des 

 parallèles, sous quelque forme qu'on l'ait présentée. Nous renvoyons le lec- 

 teur au n" d de ce même Mémoire, qui contient encore quelques dévelop- 

 pements sur cet objet. En parlant de l égalité c o, on peut établir d'une 

 manière très simple, comme nous le ferons voir tout-à-l'heure, la proposi- 

 tion sur l'équidistance des lignes parallèles. On pourrait aussi, en se fon- 

 dant sur la même égalilé, conclure qu'il existe un triangle tel que la somme 



de ses trois angles est égale à deux droits. Une fois reconnu que cette 

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