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propriété subsiste pour un seul triangle, il sera facile de s'assurer qu elle 

 a également lieu pour un triangle quelconque, ce que nous ferons voir 

 dans le n° 3 de ce Mémoire. 



Passons maintenant à la démonsti*ation du théorème sur l'équidistance 

 des parallèles. 



Soit k cet effet ÂB — a la base des deux parallèles AL, AK (Fig. 3) 

 que l'on considère, et CDzrlc la plus petite d'entre les longueurs c^, c^, 

 Cj . . . . c„, dont il a été question plus haut. Si du point C l'on abaisse 

 la perpendiculaire CP sur BK, cette perpendiculaire, en vertu du Corollaire 

 de la 1-ère Proposition , ne pourra pas être plus petite que a; or, puisque 

 CD — a, on ne pourra pas supposer que CD soit une oblique par rapport 

 à BK, car autrement on aurait CD'^CP ou bien a^CP, ce qui n'est pas 

 possible, vu que la droite ÇP ne. peut pas être plus pçtite que la base a. 

 Donc CD coincidera avec CP, et , par conséquent CP~a. Ensuite, ou fera 

 voir avec une extrême simplicité que l'angle ACP est de même un droit: 

 en effet, s'il n'en était pas ainsi, on pourrait, du point P, abaisser sur AL 

 la perpendiculaire PQ; il faudrait alors que l'oblique. PC rr: a fut plus grande 

 que PQ, et la longueur PQ devrait donc être plus petite que a, ce qui ne 

 s eut pas avoir lieu en vertu du Corollaire cité plus haut. Donc PQ se 

 confondra avec PC, et on aura de cette manière une ligne CP qui sera en 

 même temps perpendiculaire aux deux parallèles, et de plus sera égale à 

 la base AB. Il est évident d'ailleurs qu'on aura aussi AC :n BP. 



Gela établi, rien d'aussi simple que de faire voir que toute ligne ST 

 (Fig. k) qui joint les points S et T, également distants de A et de B, sera. 

 égale à AB, Puisque, par hypothèse, CPzrza, et que les angles en C et P 

 sont droits, on pourra mener une seconde ligne C P' satisfaisant aux mêmes 

 conditions, et passant par les points C, P' tels que CC :=z AC, PP' — BP. 

 De la même manière on obtiendra une troisième droite C"P" qui sera égale 

 à JBn:o, les angles en C" et P" étant droits^ et qui joindra les points C" 



