Nouvelle théorie des parallèles. 217 



et P" dont les distances AC" et BP" à la base AB sont triples de AC—BP. 

 Continuant cette construction, on finira par arriver à la ligne AB', qui 

 dépassera la droite donnée ST, sera perpendiculaire aux deux parallèles 

 et BK, et aura pour longueur la base AB—a. On obtiendra ainsi un 

 quadrilatère rectangle ABA'B' (Fig. 5) dans lequel les côtés opposés seront 

 égaux deux - à - deux. Il s'agira de faire voir 1° que la ligne ST formera 

 avec chacune des deux parallèles ,AA' , BB' des angles droits, et 2°, que 

 cette même ligne ST sera égale à la base AB. 



Sî l'on niait que AA' et BB' fussent perpendiculaires à ST, il faudrait 

 admettre d'autres perpendiculaires, comme par exemple QQ et RR'. Ces 

 deux pei'pendiculaires devront nécessairement rencontrer soit la base AB, 

 soit A'B dans l'intérieur de l'espace compris entre les deux parallèles que 

 l'on considère. Soient ^ et i? les points de rencontre. Nous aurons donc 

 de cette manière deux nouvelles parallèles iSQ et TR, dont la base sera 

 ST, puisque les angles QST et RTS sont droits par hypothèse. Mais il a 

 été; démontré plus haut que la ligne QR ne peut être plus petite que la 

 base ST] donc la droite QR sera plus grande ou tout au plus égale à ST. 

 On aura donc la condition 



qr'^st. 



D'un autre côté, en considérant ST comme appartenant au système des deux 

 parallèles AA' et BB', dont la base est AB, on devra avoir 



ST^AB, 'i , ^ ' M - 



et par conséquent 'f'^'^ ^"^'1 '«"oq 



ij^7B 1 oniim «I l rkn> ^ woJflO) al, t)up aiignol 



Or, la droite QR ne pouvant pas être plus grande que AB, par construc- 

 tion, il en faudra conclure que QR z~ AB, ou, en d'autres termes, que les 

 angles et BTS sont tous deux droits. L'égalité ST—AB est une 



