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suite nécessaire de ce qui vient d'être dit. En efFet, en prenant d'abord 

 AB pour base des parallèles AA' et BB, on aura 



ST^AB; 



de plus, si l'on observe que iST est la base des parallèles iS^ et TB , on 

 aura 



ab'^st-, 



ces deux dernières inégalités conduisent de suite à la conclusion ST:zzAB, 

 qui exprime la propriété caractéristique de l'équidistance des parallèles, 

 propriété que nous nous sommes proposé de démontrer dans ce n". 



Remarque. Nous allons présenter ici quelques observations à l'appui 

 de ce qui a été dit dans les Préliminaires relativement à la non-distinction, 

 dans les raisonnements qu'on emploie, de la ligne droite d'avec une courbe 

 convexe. Reprenons pour cela la figure 2 de la Proposition 2-ème. Notre 

 raisonnement a porté sur ce que la ligne A'E' (Fig. 6) est plus courte que 

 la longueur A'A-^AE-\- KE'\ mais, dans le raisonnement dont nous avons 

 fait usage pour démontrer la Proposition 2-ème, nous n'avons nullement ex- 

 primé, d'une manière explicite, que cette ligne A'E' fut de rigueur une 

 droite. Toute courbe convexe par rapport a AE, comme par exemple A'PE', 

 A'QE' . . ou même la ligne brisée convexe A' RE', satisfait à la condition 

 d'être plus courte que le contour exprimé par la somme A'A~\-AE-\-EE'. 

 Il n'en n'est plus de même pour les courbes concaves A'P'E', A'Q E' . . ., 

 ou pour la ligne brisée concave A'R'E', dont chacune pourrait être plus 

 longue que le contour A'A-{-AE-\-EE'. Ainsi, par la nature de l'argu- 

 mentation employée, la forme concave a été exclue. Nous voyons donc 

 que la Proposition 2-ème a lieu non seulement pour la droite A'E, mais 

 encore pour toute courbe ou ligne brisée convexe qui joindrait les deux 

 points A' et E'. Ce n'est déjà qu'en passant à la limite et dans les rai- 



