Nouvelle théorie des parallèles. 219 



sonnemunts employé» plus tard, c'est-à-dire après la démowstration de la 

 2-ème Proposition que nous avons exprimé, d'une manière explicite, qu'il s'a- 

 gissait d'une droite et non d'une courbe convexe, ce dont il a été facile 

 de s'apercevoir. 



3. Passons maintenant à la démonstration du théorème sur la somme 

 des trois angles d'un triangle. Cette proposition, une fois établie, conduit 

 immédiatement, comme on le sait, à toutes les propriétés des 'parallèles. 



PROPOSITION A. 



Soil ABC un triangle rectangle en B (Fig. 7). La somme des trois 

 angles CAB, ABC, BCA de ce triangle ne peut être plus grande que deux 

 angles droits. 



Démonstration. On peut démontrer directement cette proposition, 

 par exemple comme l'a fait Legendre dans son Mémoire: Réflexions sur 

 différentes manières de démontrer la théorie des parallèles*). Mais on y 

 parviendra d'une manière encore plus simple en se fondant sur le Corol- 

 laire de la Proposition 1-ère du n" précédent. En effet, élevons sur AB la 

 perpendiculaire AL, et menons la ligne AB'z:zBC de façon à ce que l'angle 

 BAC soit égal à l'angle ACB. Si Ton suppose que la somme des trois 

 angles du triangle donné soit plus grande que deux angles droits, la ligne 

 AB se trouvera évidemment, comme nous l'avons figuré, en dehors de 

 l'espace LABK. Joignant ensuite F avec C, l'on obtiendra le triangle CE A, 

 égal au triangle ABC, parce que tous deux auront, par construction, un 

 angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun. Les côtés 

 égaux seront d'abord l'hypothénuse commune AC, et puis AB zi. BC Donc 

 aussi le troisième côté B'C AB. Or, nous savons déjà par le Corollaire 



*) Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France, Tome XII, 1855, 

 page 369. 



