Nouvelle théorie des parallèles. 221 



perpendiculaire indéfinie BK. Supposons que sur cette ligne BK on ait 

 pris un certain nombre m de points C, C'$ C", C" . . , ., soit équidistants, 

 soit à des distances arbitraires les uns des autres. Si l'on joint chacun de 

 ces points avec A, on obtiendra m triangles 



ABC, ACC, AC'C", AC'C" 



Désignons par la somme des trois angles du pi-emier triangle ABC, par 

 la même somme pour le second triangle ACC , ainsi de suite jusqu" au 

 dernier triangle ACC" , dans lequel la somme en question sera représentée 

 par Si de plus on suppose que les angles aigus du triangle ABC", 



qui enveloppe tous les autres, soient a et c, et que l'angle droit B soit de- 

 signé comme plus haut par d, on aura pour la somme totale des angles 

 des m triangles que l'on considère 



+ • -\-s„,'=z{m~i).2d-^d-\-a + c, 



le terme (m — I) 2d se rapportant aux points intermédiaires C, C, C . . 

 dont le nombre est m — 1 En effet, comme chacun de ces points C, C, 

 C " . . . est le sommet commun de deux angles adjacents qui appartiennent 

 à deux triangles consécutifs, il en résulte que le double d'un angle droit 

 se trouvera répété un nombre m — 1 de fois. 

 Mettons l'équation précédente sous la forme 



^1 + ^2 + •^3 + • • • -f «^m =^ — (g? — a — c), 

 et observons que la différence d — a — c, que nous désignerons par 6, re- 

 presentei'a un angle compris entre les limites zéro et un angle droit. 

 Cette dernière assertion est une suite nécessaire de la Proposition A, en 

 vertu de laquelle la somme o-f-e est inférieure, ou tout-au-plus égale à 

 un angle droit. Ainsi 



^1 + ^2 + -^3 + • • • + s,n — 2md—é 

 avec les conditions b~o, b <Cd. 



