222 BOVNIAKOWSKY 



Cela posé, il y a deux hypothèses à faire sur les valeurs de s^, s^, s^. . . s^-. 

 on elles seront toutes égales entr'elles, ou bien toutes ou seulement quel- 

 ques unes d'entr'elles seront inégales. Dans la première supposition on 

 démontre immédiatement que la somme des trois angles de chacun des 

 triangles que l'on considère, est égale à deux droits. En effet, soit s la va- 

 leur commune de s^, s^., . . . s^/, on aura 



ms—2md — b, ou bien s—2d — — • 



m 



Si actuellement on prend, dans le même triangle ABC", un nouveau point 

 Q entre JB et C", et qu'on le joigne avec A par la droite AQ, on obtien- 

 dra m-\-\ triangles partiels. Les quantités s et b n'ayant point changé, il 

 viendra comme plus haut 



s-2d 



m -f- 1 



or, cette égalité est incompatible avec la précédente 



m 



à moins que b ne soit nul. Donc s~2d, ce qu'il s'agissait de faire voir 



Si, parmi les quantités s^, s^, . . . - s^, il s'en trouvaient d'inégales, 

 on choisirait la plus grande d'entr'elles, que nous désignerons par s. On 

 aura alors 



^*>-î, + Y-Sm> 



et par conséquent 



ms > 2md — b, 



d'où résulte 



^ m 



Mais comme en vertu de la Proposition A la somme s des trois angles 

 d'un triangle ne peut pas être plus grande que deux angles droits, il s'en 

 suit que cette somme s se trouvera constamment comprise entre les limites 



s<2d et *>2û?~-. 



