Nouvelle théorie des paroUeles. 



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Si, de plus, on observe qu'en faisant croître indéfiniment m, la fraction — > 



qui a pour numérateur un nombre, constant ou variable, mais inférieur à 

 d, peut être rendue plus petite que toute quantité donnée, il en faudra 

 conclure qu'il existera nécessairement un triangle dans lequel la somme s 

 des trois angles différera aussi peu de deux angles droits qu'on le voudra. 

 Donc, en passant à la limite, on pourra prendre, en toute rigueur, s—2d, 

 et la Proposition B se trouvera ainsi démontrée. 



1-ère Remarque. Observons qu'on pourrait établir la même Proposition 

 B de plusieurs autres manières analogues. On y parviendrait, par exemple, 

 en décomposant un triangle quelconque ABC (Fig. 10) en un nombre 2'" 

 d'autres triangles ainsi qu'il suit: on abaissera successivement la perpendi- 

 culaire CD, les deux perpendiculaires DE et DF, les quatre perpendicu- 

 laires EG, El, FH et FJ etc., en suivant toujours la progression double. 

 Si l'on admet que s se rapporte au triangle dans lequel la somme des trois 

 angles est la plus grande possible, et que l'on représente par / la somme 

 de» trois angles A^ B, C du triangle primitif, on aura 



2'". s>(2'"—l]. 2d^l, 



d'où l'on tire 



sy2d 



inégalité de laquelle on déduira la même conséquence que plus haut. 



On pourrait aussi considérer une suite de triangles compris entre dcdv 

 parallèles, et l'on parviendrait encore par cette voie axi même résultat. 



2 -me Remarque. Observons ici, comme à l'occasion de la Proposition 

 2-me (n° 2), qu'en démontrant la Proposition B, nous n'avons pas exprime 

 la condition que les lignes AC, AC, AC" .... (Fig. 9) étaient nécessaire- 

 ment des droites. L'équation fondamentale 



Mém IF. Sér. Se. math, et phys. T. IF. 3(» 



