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à laquelle nous sommes parvenus, aura donc également lieu si l'on rem- 

 place les droites AC, AC, AC" .... par des imirbes quelconques, corn aves 

 ou convexes par rapport au côté AB, et formant une suite de triangles 

 (consécutifs, qui n'empiètent par les uns sur les autres. Ce n'est que plus 

 tard, nommément en passant à la limite et en exprimant que la somme 

 des trois angles d'un triangle rectiligne ne peut pas être supérieure à deux 

 droits, que nous avons exclu la possibilité des côtes courbes et que nous 

 sommes ainsi rentrés dans les véritables conditions de la question. 



La Proposition B une fois établie, il ny a plus aucune difficulté à dé- 

 montrer que dms un triangle quelconque la somme des trois angles est 

 égale à deux droits. On peut s'y prendre comme l a fait Legendre*), ou 

 bien [trouver ce théorème d'une manière encore plus simple, que nous al- 

 lons exposer. 



Si l'on suppose que ABC (Fig. 8) soit le triangle dans lequel la somme 

 des trois angles est égale à deux droits, alors, en abaissant du sommet C 

 la perpendiculaire CD sur AB, chacun des deux triangles rectangles ADC 

 et BDC remplira la même condition. En effet, puisque, par la Proposition A, 



ou bien 



on aura, en ajoutant ces deux dernières inégalités, 



a^e-^f-^b^2d. 

 Mais on a par hypothèse a -\- e-\-f '\- b—2d-, donc aussi il faudra ad- 

 mettre le signe — dans les inégalités précédentes; on aura ainsi 



a^e-\r d—^d et b^f^d—2d. 



*) Voyez son Mémoire cité plus haut; page 57S. 



