Nouvelle théorie des parallèles. 227 



sera en deux triangles rectangles ACD et BCD. En vertu de ce qui vient 

 d'être démontré on aura a -\- e — d, f -\- b — d\ donc aussi 



a-\-e^f^b — 2d. 



Cette dernière égalité exprime que dans un triangle quelconque la somme 

 des trois angles est égale à deux angles droits; c'est précisément l'énoncé 

 du théorème que nous nous sommes proposé de démontrer dans ce n". 



k-. En partant de la proposition sur la somme des trois angles d'un 

 triangle, nous pouvons démontrer le postulatum d'Euclide d'une manière 

 beaucoup plus simple qu'on ne l'a fait jusqu'aprésent. Supposons pour 

 cela que AB (Fig. i^) soit la limite à laquelle ^ par hypothèse, l'oblique 

 AD ne rencontre plus la perpendiculaire BC. Ainsi, nous admettons que 

 toute autre oblique, qui formerait le même angle a avec AB, mais qui pas- 

 serait à une distance du point B, inférieure à AB , devrait rencontrer la 

 ligne BC. Abaissons du point B la perpendiculaire BE sur AD. Puisque 

 l'angle AEB est droit, et que par conséquent la somme des deux angles a 

 et b du triangle ABE est de même égale à un droit, il s'en suit que 

 l'angle EBC — a. D'ailleurs, comme BE<CAB, il en faudra conclure que 

 la droite BC rencontrera nécessairement la ligne AD, ce qu'il s'agissait pré- 

 cisénient de faire voir. 



5. Nous terminerons ce Mémoire en allant au devant d'une objection 

 qu'on fera peut-être à notre nouvelle théorie des lignes parallèles. Et d'a- 

 bord, pour peu que Ion soit versé dans cette matière, on verra tout de 

 suite que l'objef-tion ne pourrait porter que sur la conclusion que l'on tire 

 soit de la Proposition 2 -me dans la première démonstration, soit sur celle 

 de la Proposition B dans la second Goiume la nature de la difficulté 

 qu'on aurait à o| pos! r est la même dans les deux cas , nous ne nous oc- 

 cuperors ijuc do l'un d'eux. Considérons, par exemple, la première des? 

 deux dciuonstrations. 



