Nouvelle théorie des parallèles. '229 



droites, éminemment distinctes. Ainsi la distance de la ligne c à AE ne 

 peut pas disparaître, même à la limite, c'est-à-dire pour m ~ oo. Gela 

 posé, quelque petite que l'on suppose cette distance AC (I*ig. 3), comme 

 elle n'est pas rigoureusement nulle, son accumulation indéfinie finira par 

 produire une longueur sensible. De là, il n'y aura plus aucune difficulté 

 à conclure que la distance AA (Fig. h') peut être supposée aussi grande 

 qu'on le voudra, ce qui servira tout - de - suite à établir la proposition sur 

 l'équidistance des parallèles. 



An reste, sans passer à la limite m ~ oo, on est en droit de conclure 

 que c ~ tt. En effet, tant que le nombre m n'est pas infini, on est assuré 

 que la ligne c est à une distance sensible de la droite A\t (Fig 2). Si 

 l'on suppose m extrêmement grand, c différera très peu de a, de sorte que 

 leur différence pourra être rendue plus petite que toute grandeur donnée. 

 Ainsi, le degré d'exactitude de l'égalité c~û, et par suite de celle entre 

 les distances des parallèles que l'on considère, dépendra de notre volonté, 

 et sera par conséquent tel qu'on voudra. Si quelqu' un disiit, par exemple, 

 que la différence c — a est supérieure à 5 nous répondrions que cela ne 

 peut avoir lieu, car, en prenant m~ 1000, on aurait au contraire 



Il en serait de même de la perpendiculaire (Fig. 3), puisque CF <,CD 

 ou <C c, et que de plus la distance AC subsiste incontestablement dans 

 le cas que nous considérons. 



Cet examen nous conduit infailliblement à la conséquence que, s'il 

 existait une différence entre c et a, et par suite entre les distances des 

 parallèles, elle ne pourrait être qu'infiniment petite. On arriverait à 

 un résultat tout- à -fait semblable par rapport à la somme des trois angles 

 d'un triangle, c'est-à-dire, on prouverait de la même manière que tout-à- 



