BOVNIAKOWSKY 

 ( 2/i-t-l)x» 



Il serait sans doute très difficile d'établir cette identité remarquable par des 

 méthodes élémentaires. Quoi qu'il en soit, cette équation donne lieu à de» 

 conséquences fort curieuses que nous allons exposer. 



Et d'abord, puisque le développement du second membre donne la série ♦ 

 1-1- x-¥- as*-i- aî*-f- a;*-4- x*-»- x^-^ ac'-f-.... 



-¥-Zx ... :-H3ïd* .-i-3ac'^. .. . ; - f 



-H Sx* -I- 5a;'-»- .... 



-i-7a;* ..jRUlK Ja .ii..^dlilAJ>iH 



-♦-9£C* 



-i-llx*... 



-»-13a;« 



-t-lScc'-t-. .. . 



qui revient évidemment à i 



1 -i-/3.£c-h/5.x*-4-/7.x»-*-. . . .-4-/(2m-»-l).x'"-H. . . ., 

 /(2m-t-l) désignant en général la somme des diviseurs du nombre impair 

 2m-+-l, on aura cette équation 



(l_i_a;i_i-ic»-4-a;*-4-...)* = 1-^/3 . x-h/'S . aî*-^/7 . x»-*-...-f-/(2m-t-l) . x'"-*-..., (2) 

 due à M. Jacobi, et qui exprime ce théorème remarquable: 



THÉORÈME. Tout entier m est decomposable d'autant de manières en 

 quatre nombres triangulaires, qu'il y a d'unités dans la sommé des diviseurs 

 du nombre impair 2m-f-l. 



Gela posé, nous allons déduire de nouvelles conséquences de la formule 

 (2). Si, après avoir changé x en x', on multiplie l'équation par x*, on 

 obtiendra 



(x»Vx»Vjr*Va?'*-f- )• = x*-+-/3.x»»-»-/5.x»°-f-y7.x"-»-. . . . 



H-/(2fnH-i).x*<*'"+»'-H.... (.3) 



