Sur les sommes des diviseurs des nombres. 261 



De cette identité on conclut immédiatement que tout nombre de la forme 

 k{2m-^i) , c est-à-dire quadruple d'un impair, est decomposable d'autant de 

 manières en quatre carre's impairs, qu'il y a d' unités dans la somme des 

 diviseurs du nombre 2ra-i-l. 



Prenons encore la dérivée logarithmique de l'équation (3). Si, après 

 l'avoir multipliée par x, on compare les coefficients de la variable, on sera 

 conduit aux égalités suivantes, dans lesquelles, pour plus de symétrie, nous 

 avons remplacé 1 par fi: 



iy3-H3* = 3/3-^/1 

 l*/"5-i-3y3 = 5f5-i-dfZ 

 iy7-4-3y5-i-5Vl = 7/7H-5/5-f:/-l 

 iy9H-3*/7-i-5y3 = 9y9-+-7/7-H3/3 

 iyil-t-3V9-i-5y5 = ll/ll-f-9/'9-i-57'5 



i*yi3-»-3yii-i-5y7-i-7yi = 13^13-^11711-1-7/7-1-/1 



Pour mieux saisir la loi de ces expressions, donnons leur la forme: 

 (i*-l)/l=0 



3)/3-f-(3'— 1)/1 =0 

 (1*— 5)/5h-(3*— 3)./3 = 0 

 (I*— 7)/7-f-(3*— 5)/5-t-(5»— lyi = 0 

 (l*^9)y^-+-(3*— 7]/7-»-(5»— 3)y3 = 0 

 (1*— ll)/ll-i-(3'— 9)/9h-(5*— 5)/5 = 0 

 (1»— 13)/13-i-(3»— tl)/ll-i-(5*— 7)/7-4-(7*— l)/l = 0 

 (1»— 15)/15-i-(3*— 13yi3-f-(5*— 9y9-i-(7^— 3)/3 ^ 0 

 (1*— 17)/17-*-(3*— 15)/15-i-(5'— ll)/ll-i-(7*— 5/5 = 0 

 (1*— 19)/19-f-(3'— 17)/17-^-(5*— 13)/13-i-(7»— 7/7 = 0 

 (1*— 21)/21-i-(3*— 19)/19-t-(5*—15)/15-H(7^— 9y9-i-(9*—l)yi = 0 



donc, en général. 



