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BOUNIAKOWSKY ' 



( 1 2m-*-l )/(2m-Hl)-t-( 3'— 2m— I )/(2m— 1 )h-(5»— 2m— 5)/(2m— 5) 

 ■■•'^ -i-(7*— 2m— ll)/(2m— 11)-H. . . . = 0. 

 La loi de cette dernière expression est évidente, car les nombres 



2m-t-l, 2m— t, 2m— 5, 2m— 11, 



se forment successivement en retranchant du précédent les termes de la 

 progression arithmétique 2, 4, 6, 8.... Ainsi l'on a 

 2m— 1 = (2m-i-l)— 2 

 2m— 5 = (2m— 1)—^ 

 2m— 11 ^ (2m— 5)— 6 



La loi à laquelle nous venons de parvenir nous paraît très remarquable. 

 Elle est entièrement différente , pour la forme, de celle qu'Eu 1er a ob- 

 tenue par le développement du produit intini (1 — x)[i — x*)(l — 5c')(l — x*),... 

 En effet, la formule d'Eu 1er*) 



fn = y(n-l)-t-/(n-2)-/(n-5)-/(n-7)-f:/'(/i-12)-f-. ... (5) 

 contient des sommes des diviseurs de nombres pairs et impairs, multipliées 

 par des constantes qui se réduisent a zn i , tandis que l'équation (^i-) ne 

 renferme que des sommes des diviseurs de nombres impairs, respectivement 

 multipliées par de certains nombres variables. La rédaction directe des 

 formules (k) et (5), l'une à l'autre, paraît présenter de grandes difficultés, 

 à moins qu'on n'ait recours à la théorie des fonctions elliptiques. 



Pour trouver le nombre N de termes contenus dans la formule (4) pour 

 un nombre impair donné 2m-+-l , il n'y aura, d'après ce qui vient d'être 

 dit, qu'à déterminer N de manière à ce que la dernière différence 



2mH-l 



2m-»-l— 2 



2m-t-l—2—k 



*) N. Comment. K 1754—55, p. 59. 



