Sur les sommes des diviseurs des nombres. 

 2mH-l— 2—^—6 



263 



2m-+-l— 2— ît— 6— . . .— 2(iV— 1) 

 soit positive et en même temps inférieure à 2N. On aura donc 



2,n-+-l— 2(1h-2h-3-i-. . .-4-/V^) '^^^ 



ou bien 



2m-4-l-i\(iV-l)>^^ 



ce qui donnera 



N<^~i-V2m-i-i-^~ èt iV> — i-+-l/2m-*-l-i-i. 



Donc , N sera égal au nombre entier immédiatement inférieur à 

 ^-i-\/2m-^-^-^-^ , et par conséquent égal à la partie entière de la racine 

 carrée contenue dans le nombre donné 2m-+-l, tantôt en plus et tantôt en 

 moins. Ainsi, pour 2m-i-l =19, on trouvera iV^^-, et pour 2/nH-l=21, 

 on aura iY= 5. 



La formule (k) est susceptible d'être présentée sous différentes formes. 

 Par exemple, on verra facilement qu'en l'écrivant de cette manière 

 n=N 



1 /r(2a— If— (2m-t-l— n(n— l))]/[2m-4-I— =0, 



n=i l ■ ' 



TV ayant la signification précédente, et observant de plus que 

 (2n— .l)^_(2m-4-l— 7i(n— 1)) = 5a^— 5?i— 2m, 



on aura 



5 if l 'i^^. /[2m-Hl— n(n— 1)] I = m''^/[2mH-l— n(^^^ 



n=l ' n=:\ 



Il résulte de cette formule que si l'on représente par J^, J^, J^, J^. . . . 

 la suite des nombres triangulaii'es 0, 1, 3, 6...., on obtiendra l'identité 



Mém. FI, Séi . Se. math, et yhjs. T. IF. 3o 



