264- BOUI^ IAKOWSKY 



5[z/„/(2m-f-l]-i-//,/(2mH-l — 1 .2)-i-//^/ 2m-i-l— 2 . 3) 



= m[/(2m-t-l)-f-/(2/n-4-l — 1 .2)-H/^(2m-+-l— 2.3) 



-i-/(2m-i-l— 3.4)h-, . .]. 

 De là on conclut, comme corollaire^ que si m n'est pas de la forme 5k, 

 la somme 



/(2m-i-l)-»-/(2m-f-l — 1.2)H-/(2m-h-l— 2.3)-!-. . . . 

 sera divisible par 5, et la somme 



JJ\2m-^l — i.2)-^J^/\2m^l—2.3)-+-J,f(2m-\-i—3.k)-+-... 

 par m. Ainsi, par exemple, pour m = 9, on aura 2m-i-l = 19; par con- 

 séquent 



/19_»_/i 7-^/13-4-/7 = 60= 0(mod.5), 1/1 7-i-3l/i 3-4-6/7= 108:^ O(mod. 9), 

 et en môme temps « " \ 



5[l/17-t-3/13-t-6/7] = 9[/19-i-/l 3-I-/7] = 5 . 108 = 9 . 60. 



Observons encore que la formule ('i') peut être transformée en d'autres 

 qui ne contiendront que les sommes des diviseurs de nombres pairs. En 

 effet, il est facile de s'assurer directement qu'on peut multiplier tous ses 

 termes sous le signe / successivetnent par 2, 2^, 2'.... sans que l'égalité 

 cesse de subsister. Pour cela il suffira évidemment de faire voir que si 

 l'on multiplie par la même puissance de 2, par 2*" par exemple, deux nom- 

 bres impairs quelconques 2A:-i-l et 2/c'h-1, et qu'on détermine ensuite les 

 sommes des diviseurs 



/■2^(2/c-i-l) et /2^(2//-»-1), 

 ces deux sommes seront respèctivement proportionnelles à 



/(2/c-f-l) et f{2k'^i). 

 Or, puisque 2^ est premier à 2k-h-i et à 2A;'-i-l, on aura, par la pro- 

 priété connue de la fonction désignée par le si^ne J, 



