Sur les sommes des diviseurs des nombres. 265 

 /2'"(2/f-i-l) =/2"./(2/c-f-l) = (2^+»-l)/(2/c-Hl) 

 f2"\2k'-t~l) =f2^.f{2k'-\-i)= (2'"+*— l)yX2//-4-l). 

 Donc /'2"=2"^* — 1 sera facteur commun de tous les termes de l'équation 

 [h), qui sera par conséquent satisfaite. Ainsi, par exemple, l'égalité 



(l^-7)/7-i-(3^-5)/5-i-(5^-l)/l = 0 

 entraînera nécessairement les suivantes: 



(l2_7)y^l^^_^_(3î_5)y'10^-(5^_l)/2 = 0 

 (1"— 7)./28-i-(3"— 5)/20-i-(5^— = 0 

 (12_7)/5Gh-(3^— 5).A0-i-(5"— 1)/8 = 0 



ce qu'il est facile de vérifier directement. 



Indépendamment de ce qui vient d'être dit sur la transformation de la 

 formule {y)^ il est curieux d'examiner si la loi qu'elle représente pour les 

 sommes des diviseurs de nombres impairs^ subsiste de même pour les nom- 

 bres pairs, et c'est ce que la formule de M. Jacobi ne peut décider. Oi', il 

 arrive, que cette loi a également lieu pour les sommes des diviseurs des 

 nombres pairs, sauf une légère exception, ou plutôt une modification que 

 nous allons mentionner. Ainsi, en représentant par 2m un nombre pair 

 quelconque, pourvu qu'il ne soit pas de la forme (/c — i)k, c'est-à-dire 

 double d un nombre triangulaire, on. aura 



(1*— 2frj)/2m^(3^— 2m— 1 .2)/(2m— 1 . 2)-h(5^— 2m— 2 . 3)y\2m— 2.3) 

 _K-(72_2m— 3 . k)/{2m—3 . . . . = 0, 

 égalité entièrement conforme à la formule (^). En attribuant successive- 

 ment à 2m les valeurs 4, 8, iO, ik^ 16, 18, 22.... qui contiennent tous 

 les nombres pairs, à l'exception de ceux qui sont de la forme {k—i)k, 



c'est-à-dire 1.2 — 2, 2.3 = 6, 3.'i'=12, Ji..5 = 20 , on aura en vertu 



de l'équation (7) 



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