Sur les sommes des diviseurs des nombres. 



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D'après tout ce qui vient d'être dit nous sommes en droit de conclure que 

 quel que soit le nombre donne' N, pair ou impair, on aura toujours entre 

 les sommes des diviseurs des nombres successifs 



iV, iV— 1.2, iV— 2.3, iV— 3.4, 



la relation suivante 



(l_iV)/iVH-(3^— A— 1 .2)/(iV— 1 .2)-f-(5^— iV— 2.3)/(iV— 2.3) 



-^~{V—N—2.h)J\N—'i.k)-\- ...= 



en observant seulement de remplacer par — F expression fi) , si elle se pre'sente 

 dans le dernier terme. 



Telle est la nouvelle loi générale qui lie les fonctions 



entr'elles. Dans celle d'Euler, au lieu des produits 1.2, 2.3, 3.4,..,. 

 c'est-à-dire des nombres triangulaires doublés, on retranche successivement 

 de l'entier donné N les nombres de la forme — =-> ou les termes de la 

 série des nombres pentagoneaux, prolongée dans les deux sens, nommément 

 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26.... Pour ce qui regarde la substitution de 

 à la place de fO, on trouve son analogue dans la loi d'Euler: en effet, 

 on sait que lorsque, dans sa formule, on arrive à l'expression yO, et cela a 

 lieu toutes les fois que ]S est de l'une des deux formes — il faut rem- 

 placer le terme /O par iV. 



Pour le cas d'un nombre pair 2m, la formule (6) se trouvera remplacée 

 par la suivante: 



J^^, J^, J^, z/j.... ayant la signification précédente. De là on conclura 

 que toutes les fois que 2m — 1 n'est pas divisible par 5, la somme 



fN, f{N-i.2), /(A-2.3), .... 



10[z/,/2m-Hz/,/(2m— 1 .2)-f-^,/(2m— 2.3)-i-//3/(2m— 3.4)-H. . .] 

 = (2m— l)[/2m-t-/(2m— 1.2)-f-/(2m— 2.3)-i-/(2m— 3.4)h-. . .], 



