Sur les sommes des diviseurs des nombres. 269 



^. Passons maintenant à d'autres relations remarquables qui existent 

 entre les sommes- des diviseurs des nombres. Ce que nous allons dire à 

 cet égard est, en grande partie, indépendant de la théorie des fonctions 

 elliptiques, et s'établit d'une manière élémentaire. 



Et d'abord, commençons par démontrer la formule suivante: 



dans laquelle on a fait pour abréger 



y(cc) = (l_cc)(l— iC^)(l— x'). . . .=1— x*— x^-4-j;'-i-5c'— £C^^— . . . . 

 Pour parvenir à cette identité, nous ferons usage d'un mode de développe- 

 ment très simple qu'on a appliqué avec succès dans des recherches sur les 

 fonctions elliptiques Gonsidéronp le produit d'un nombre infini de facteurs 



^(^•. j)=(j-j-')[(i-<v^)(i-^-y)(i-^y) ■ 



et supposons qu'on veuille obtenir son développement sous la forme suivante: 



les coefficients A^, A^, J^. . . . ne contenant que la variable x. Or, en 

 remplaçant y par .xy dans l'équation (11), on obtient 



F{a:, xy) ={xy-x-^y-^)[{i-xy){i-xY) . . . .{i-y-){i-x^y--) . . . .] 



^ (^^-..— y— ^) F(x,j) 



Cr-r-M(i-'--V) 

 Réduisant cette dernière expression, on trouve simplement 



F{x, xy) = -'^, ' - ' 

 ou bien , 

 xy'^F{x, xy)-t-F{x, y) = 0. 

 Si actuellement on remplace dans cette dernière équation F{x , y) par 

 son développement (12) et en même temps F[x, xy) par la même expres- 

 sion après y avoir change y en xy, on obtiendra 



