Sur les sommes des diviseurs des nombres. 271 

 la formule (13), après y avoir changé x"^ en a;, donnera 



_[(i-+-x)(l-H.r' )(l-(-.r^)...f 



1 ~~ i-t-xi-+-x»-)-x<;-+-xio-(- ... * ^ 

 Donc, en vertu des deux formules (14) et (15), 



l_.3r+5.r3-7.r«^... _ /(.t)^ 



l-+-.r.l-+-.f3-4-x6-4- . . . |;(l_+_,r)(l-+-jr2xi-|-x» ) . . .]2 



Gela posé, si l'on observe que le produit infini (l-+-x)(I-f-^^)(l-l-jr') 



peut être mis sous la forme 



on arrive immédiatement à la formule (10) que nous nous sommes proposé 

 de démontrer. Voilà donc une relation entre trois séries 

 1 — 3jr-f-5jr'— 7^®-4-... , l-f-.r*-»-cy'-t-^*-f-..., 1 — jr^— — jr^* — 

 dont les exposmts forment des progressions arithmétiques du second ordre, 

 et ce qu'il y a de remarquable, c'est que cette relation s'établit d'une ma- 

 nière tout à-fait élémentaire. 



Combinons maintenant la formule (10) avec une autre, trouvée par 

 M. Jacobi d'abord par la voie des fonctions elliptiques, et plus tard dé- 

 montrée par lui d'une manière élémentaire. Voici cette formule*): 

 y(^)» = (i_^i_jr^_i-^*-t-jr'_^i^_. ..y= 1— 3jr-+-5jr»— 7x«-i-. . . 

 La comparaison des deux identités (10) et (^16) conduit de suite à 

 l'équation 



l_,_^l_4_^3_^.;^«-Hjr*°-t-.... ='^% (17) 



qui, du reste, peut nussi être déduite immédiatement d'une formule remar- 

 quable donnée d'abord par M. G a us s, et démontrée plus lard d'une manière 

 très élégante par M. L ebesgue**). L'égalité (17) peut être présentée sous 

 les différentes formes que voici: . 



*) Liouville, Journal de Mathématiques, tome F II, 1842, p. 85, 

 **) Liouville, Journal de Mathématiques, année 1840, p, 47. 

 Mém. FI. Sér. Se. math, et phjs. T. IF. 



