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272 BOUNIAKOIVSKY 



{\.—x){i—x^){i—x^) . . . 



= (l-4-x)(l-f-jr')(l-i-^*)...(l— ^* ■ *)(!— ^* ■ ^)(1— ^* • ») 



= [(lH-^)(l-H^^)(l-+-^^). . 



Toutes ces identités expriment certaines propriétés des nombres qui, 

 comme de raison, rentrent pour le fond les unes dans les autres, et ne 

 diffèrent entr'elles que par l'énoncé. Si l'on choisit l'avant-dernière des 

 égalités (18), c'est-à-dire ) f 



l-4-jr*-t-Jç'-H.jr'-4- . . — (l-t-jr)(l-+-X^)(l-4-jr'). , (l_^2)(l_^*)(l_-^-«). . 



on en conclura la proposition suivante: 



THÉORÈME. Tout entier , non-lriangulaire, peut être formé d'un même 

 nombre de manières par un agrégat de termes différents entr'eux pris dans 

 la suite naturelle 



(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6,.... 



et ajouté à un agrégat semblable de nombres pairs de la progression 



(b) 2, k, 6, 8, 10, 12,.... 



qu'on prenne ces derniers en nombre pair ou impair. Si l'entier que l'on 

 décompose est triangulaire , alors la totalité des décompositions qui corres- 

 pondent au nombre pair, surpassera d'une unité la totalité de celles qui se 

 rapportent au nombre impair. 



Ainsi, par exemple, le nombre non-triangulaire 12 se décompose ainsi: 



