Sur les sommes des diviseurs des nombres. 



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Si l'on se représente le second membre de cette équation développé, et 

 qu'on compare ce développement au premier membre, on sera immédiate- 

 ment conduit au tbéorème suivant: 

 THÉORÈME. Soient 



(a) i, 2, 3, k-,. . . . et (b) 1, 3, 5, 7,. . . . 

 deux progressions dont la première représente la se'rie des nombres naturels 

 et la seconde celle des nombres impairs. Tout entier, non -triangulaire, peut 

 être forme' d'un même nombre de manières par un agrégat de termes diffé- 

 rents entreux pris dans la suite (b) et ajoute' au quadruple d'un agre'gat 

 semblable de la suite (a), qu'on prenne les termes de (a) en nombre pair ou 

 impair. Si l'entier que l'on de'compose est triangulaire, la totalité' des de'com- 

 positions qui correspondent au nombre pair de termes de l'agre'gat (a) sur- 

 passera d'une unité la totalité de celles qui se rapportent à un nombre im- 

 pair de termes. 



Ainsi, par exemple, le nombre 20, non-triangulaire, donne lieu aux 12 

 décompositions suivantes dans chacun des deux cas: 



Décompositions relatives au cas où Décompositions relatives au cas où 



l'agrégat (a) est composé dun nombre 

 pair de termes: 



3-t-17 



5-t-15 



7-1-13 



9-4-H 

 l-t-3H-5-^-li 

 1-1-3-1-7-t- 9 



l'agrégat (o) est composé d'un nombre 

 impair de termes: 



3H-l3-i-?t.l 

 5-ï-l 1-1-4.1 



l-t-3-H5-t- 7-f-it.l 



7-»-4(1h-2) 

 5-h4(1-4_2) 



llH-4.2 



9-1-4^.2 



1-f- 3-f-^^(l-^-3) 



7-t-4^.3 

 3h_ 5-f-4^.3 



-k{i-^-k) 

 4(2-h3) 



