Sur les sommes des diviseurs des nombres. 277 

 Donc aussi, en changeant x en x^, 



et pai' conséquent 



4.ry(.r') xf(.r). ^ 



fi x-^-{J^2—kf{)x''-^f^.x^-+-{J\—hf^)x'-^^f^.x'-^{f&—\^^^^^ • • • 



x^-^.3.t^+6.rg +10.r^ "-+- • • . 



l-t-.<.^-|-a:^-t-a.C-f-.r^°-|-. . . 



Enfin^ en faisant disparaître le dénominateur, on obtiendra les égalités 



= /2-3/l=0, /3-H/2-V"! - 3, 

 /W/3— i/S-H/i = 0, /5-+-/4— 3/2— 4/1 0, /6-i-/5— 3/3 = 6,. . . . 



On parvient sans peine à l'équation générale qui exprime cette nouvelle 

 relation entre les sommes des diviseurs des nombres. En effet, si, pour 

 mieux mettre la loi en évidence, l'on représente par J^, J^, z/j, J^.... 

 les nombres triangulaires 1, 3, 6, 10...., l'on aura, en vertu de l'identité 

 précédente, pour un nombre impair n, non-triangulaire, la formule suivante: 



et pour le cas de n pair, également non-triangulaire, 



[/n-VY]-*T/('^-^.K/(n-//.)-H[/(n-^3)-'./^] ) 



[A'^-^J- V~/*]-H/(^-^,K/(n-z^j-H. . . . = 0. 1 ^^^^ 



Si le nombre n que l'on considère était triangulaire, il n'y aurait qu'à 

 remplacer zéro, c'est-à-dire le second membre de chacune des équations 

 (19) et (20) par ce même nombre n. Voilà donc une loi nouvelle, relative 

 aux sommes des diviseurs des nombres, et qui peut être établie d'une ma- 

 nière élémentaire. 



