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Sans nous arrêter à des détails d'un calcul très simple, nous allons 

 rapporter, pour ces mêmes sommes, d'autres relations auxquelles on arrive 

 en combinant les formules (2) et (17). Voilà les égalités que l'on obtiendra: 



y3H-(/2-V'l)/l=i/5 



y3H-(/2-V'l)/3.-»-/3/l = |/7 



/7-i-C/ 2-kfl)f 5-^/3 .f3-^{f!,-k/2]A = 4/9 



et en général, pour un nombre n impair, 



yh-f-(/2- V"l)y(n-2 W3 .J\n-k)-i-{fk-k/2)/{n-&)-*-f5 ./(n^S) \ 



^(/6-^./3)/(n-10)-i-. . . =\.'^./(n-^2). \ ^^^^ 



On remarquera que cette formule diffère des précédentes en ce qu'elle 

 donne une relation non- linéaire entre les différentes sommes des diviseurs 

 des nombres. De plus, cette même équation (21) donne lieu immédiate- 

 ment à une remarque assez intéressante. En effet, puisque ^'~^-J (n-t-2) 

 doit être entier, il est évident que si n est de la forme kk-^l, il faudra 

 que /'(/1-I-2), c'est à-dire f{kk-\-3) soit paire Ainsi, y(4'A--»-3) est toujours 

 paire. Du reste, il est très facile de généraliser ce tbéorèuie d'une manière 

 directe en l'énonçant en ces termes: 



TllÉOllÈME. La somme des diviseurs d'un nombre impair quelconque 

 est paire ou impaire, suivant que ce nombre est non-carré ou carré. De 

 même, la somme des diviseurs d'un nombre pair quelconque sera paire si le 

 nombre en question n'est pas un carré ou le double d'un carré, et impaire 

 dans le cas contraire. Ou bien , plus simplement, les carres et les doubles 

 d'un carre' sont les seuls entiers dont la somme des diviseurs soit un nom- 

 bre impair. 



