Sur les sommes des diviseurs des nombres. 279 



Pour démontrer la première partie de cette proposition, soit N=[/''ç^^r'>'..., 

 p, q, r... étant des nombres premiers impairs. On aura, comme on sait, 



fN= (1-i-/)-+-/h-. . .-+-//)( 1-4-^-1-9*-»-. . .-^ql){i-i-r-i-r^-i-. . .-i-r^). . . 

 pour que ce nombre /N soit impair, il faut nécessairement que chacune 

 des sommes 



p-\-p^-+- . . . -+-/)";, q-\-q'^-\- . . . -*-q'\ r-+-r^-4- . . . n-r^', .... 

 soit composée d'un nombre pair de termes, ce qui exige que ce, (3, y . . . . 

 soient tous pairs. En supposant donc 



« = 2Â-, /3 = 2k', y = 2k", . 



on aura 



iV= {pt^-qr^' r^" . . . .)^ 

 conformément à l'énoncé du théorème. 



De là on conclura, comme corollaire, qu'un nombre de la forme 4A-f-3 

 qui, évidemment, ne peut être vm carrée aura pour somme de ses diviseurs 

 un nombre pair, comme nous l'avions déjà remarqué plus haut. 



La seconde partie de la proposition se démontre avec la même facilité. 

 Gomme le nombre que l'on considère est pair, on aura, en conservant les 

 dénominations précédentes, 



et par conséquent 



y7V=/2^/p^y•9.^/^^... = 



Pour que ce nombre soit impair, il faut que les exposants u, /?, y.... 

 soient tous pairs. 



En supposant donc comme plus haut 



fô = 2A-, /3 = 2k', y = 2k" 



on aura 



iV =2^(pV'^*"- •••)'• 



Mém. yi Sér. Se. math, et phys. T. FI. 37 



