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dette formule, suivant que l'exposant u sera pair ou impair, c'est-à-dire de 

 l'une des deux formes 2m ou 2m-\-\, se réduira à 



N= {r' .pf^qk'rk" . . .f ou bien à N= 2{2"' .p^q^' r^c" . . .f, 

 conformément à ce que nous avions en vue de démontrer. 



Reprenons encore la formule (13) pour en tirer quelques nouvelles 

 conséquences. Et d'abord, si l'on y fait y = x" ou y , fLi représen- 

 tant un entier quelconque, son premier membre contenant les facteurs 

 1 — .x^'^j"^ et 1 — it;^'*J^ s'annulera, et l'on aura, dans les deux cas, l'équation 



H-, . ._^;_,)"^'..»+..(^<."+..'.__j^)_. . . . = 0, S 



qui donne lieu à la conclusion suivante: 



Soient "^^"^1^=^^^ et ^-^^^~=Jrf deux nombres triangulaires, dont 



i'im, le premier p;ir exemple, soit donné, et le second inconnu. Désignons 

 de plus par un entier donné quelconque. Cela posé, il sera toujours 

 po.ssible de déterminer le nombre triangulaire de manière que son 

 double, diminué du produit (2i\^-i-l ),«, soit égal au double du nombre 

 triangulaire Jj^ augmenté d'un semblable produit (2M-f-l),</. — Au reste, 

 < ette proposition se démontre directement avec la plus grande facilité, et 

 sans qu'on ait besoin de recourir à l'identité (22). En effet, il s'agit de 

 faire voir que l'équation 



,V(iY-t-l)— (2iY-i-l)^ = M(M-»-l)-+-(2M-*-l>* 

 donne une seule valeur, entière et positive, pour N. Or, en mettant d'abord 

 ' elte dernière égalité sous la forme 



^-«^ = (A'-^M--IK (23) 



it|iu revient à 



