Sur les sommes des diviseurs des nombres. 285 



sieurs cas, présente quelques avantages sur la méthode de la dérivée loga- 

 rithjuique, surtout lorsque les facteurs sont des polynômes infinis ou com- 

 posés d'un grand nombre de ternies. De plus, ce mode de développement 

 (Conduit souvent à des propositions curieuses sur les nombres, ce dont nous 

 donnerons quelques exemples dans ce qui va suivre. 

 Supposons que l'on ait en général un produit 



X'X"X"'.\"' 



composé d'une infinité de facteurs, dont chacun représente une fonction 

 entière, de degré fini ou infini, de la variable x, et que l'on veuille dé- 

 velopper ce produit suivant les puissances ascendantes de x. On posera 



X'X"X"'X'\ ... = J^-^A^x-^J^x^-i-. . . . . , (25) 



et la question consistera à déterminer les coefficients A^, A^, A^. . . A,,^. . . . 



Faisons ^=^, et représentons par Y' , Y" , Y'"... les transformées de 

 x', X" , X'" . . . après avoir fait disparaître dans chacune d'elles les déno- 

 minateurs en y. On aura 



Y'Y"Y"'Y'\ ...= j^-'-i-. ... 



Gela posé, si l'on représente par 



s/, s^', s/,.... 



les sommes des premières, secondes, troisièmes.... puissances des racines 

 de l'équation 



Y' = 0, 



par 



, , . . . . , , , 5j ......... 



celles des équations 



F" = o, r" = o,.... 



et que de plus l'on désigne par 



les sommes des puissances premières, secondes, troisièmes.... des racines 

 de l'équation 



