Sur les sommes des diviseurs des nombres. 287 



Les formules que nous venons de donner se simplifient souvent quand 

 on les applique à des cas particuliers. Ainsi, par exemple, si tous les poli- 

 nomes X', X", X'" . . . . étaient égaux entr'eux, il est évident qu'on aurait 



' // trr / rf /// f rr nr 



j'j — — — — — , — — — .... 



et par conséquent les équations (26) se réduiraient à 



=z ms^\ = ms^, 5'g = ms^',. ... (28) 

 m désignant le nombre de facteurs égaux X', X", X'".... que nous sup- 

 posons limité dans ce cas. Nous aurions donc de cette manière le déve- 

 loppement de la puissance 



{X'f = A^-+-A^x-^A^x''-^-A^.x^-v- .... 

 X' pouvant représenter lui-même une série infinie. 



Une autre observation qui se présente d'elle-même, et dont nous ferons 

 usage plus bas, c'est que si les équations 



r = o, r' = o, r" = o,.... 



sont réciproques, les équations 



x' = o, x"=o, r" = o,.... 



auront les mêmes racines que les précédentes, de sorte que 



S^', S^', S^',.... S^', S^', S^',. . . . S^"\ S^'\ S^" ,. . . . 



désigneront également dans ce cas les sommes des puissances premières, 

 secondes, troisièmes,. . . . des équations X' = 0, X" = 0, X'" = 0, . . . . 



Passons actuellement à quelques applications de la méthode qui vient 

 d'être exposée. Gomme dans le cas que nous allons considérer, toutes les 

 équations X' = 0, X" = Q, X'" = 0,.... seront réciproques, il en faudra 

 conclure que les sommes s^', s^' , . . s^' . . . .5,"', s^" . . . . pourront être 

 rapportées aux racines des équations X' =^ 0, X" ~ 0, X'" = 0,. . . . immé- 

 diatement données. 



Soit le produit infini 

 (l_x)(l— jî7^)(l— jîr^)(l_^*) =z i-^A^œ-^A^x'^-^A^cc''-\-. . . . 



qui, comme on le sait d'après Euler, se réduit à 



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