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1 — X* — x'^-^x^-v-x'^ — — x^^-^. . . . 

 D'un autre côté, en vertu d'une proposition connue, et dont il est très 

 facile de se convaincre directement, la somme des puissances n™^' des ra- 

 cines des équations 



\—x = 0, 1— A* = 0, 1— ^« = 0, 1— ^"=^0, 



représente la somme des diviseurs du nombre n. Quant à la somme des 

 puissances /i™^' des racines des équations 



i—x^^'^Q, l_^"+2=:0, l_ic"+' = 0 à l'ineni, 

 elle sera évidemment nulle, c'est pourquoi, en conservant les dénominations 

 employées plus haut, on aura 



=A » =J% s, =/3, .... 5„ =Jn, .... 

 De plus, comme 



A,= i, A^=-i, A,=-i, A^=A^=d, A^=^U A,= 0, A,= i 



les formules (27)se réduiront aux suivantes: 



/i— 1 = 0 



/2-/l-2 = 0 

 /3-/2-/l=0 



fm-/(m-l)-f{m-2)-^y{m-5)-i-/{m^l)-^. . . . = 0, 



qui expriment la loi donnée par Eu 1er pour les sommes des diviseurs 

 des nombres. 



Si le développement 1 — x^ — x'^-t-x^-^x'' — .... est supposé inconnu, 

 les coefficients A^, A^, A^. . . . se détermineront par les mêmes équations 

 (27) en fonction des quantités fi,f2,JZ.... En effet, on aura 



