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la somme des puissances n^""'' des racines de l'équation (30) se composera 

 de la somme des puissances n^"'= des racines de 1 équation 



(l_^)(l_^2)(t_^«)(l_^*). . . . = 0 (31) 

 plus du double des mêmes puissances n^""^ des racines de l'équation 



{i-^-x){\-^-x''){i-^-x^){i-i-x^). . . . = 0. (32) 

 Soit ^„ la somme des puissances n*™' de l'équation donnée (30). Re- 

 présentons respectivement par 5„ et ^„ les quantités analogues pour les 

 équations (31) et (32); on aura 



^„ = ^„H-2.„, 



et puisque, en vertu de ce que nous avons vu plus haut, S^=fn, il viendra 

 ^„ =fn-i-2s^. (33) 

 La question est donc réduite à la recherche de la quantité s^^. Or, il est 

 très facile de s'assurer que si l'on représente par D{n) et J)'{n) deux fac- 

 teurs du nombre n tels que le produit D[n) .D'{n)= n, sera donné par 

 la formule 



s,, = ^—if'''\D'{n), {3k) 

 dans laquelle le signe sommatoire S doit être étendu à toutes les décom- 

 j)ositions possibles du nombre n en produit de deux facteurs. En elFet, 

 pour déterminer s^, nous devons effectuer l'opération suivante: 



La n^""" puissance de la racine unique de l'équation i-t-x = 0 sera 

 -+-1 ou — 1 

 suivant que n est pair ou impair. 



La somme des n^"^' puissances des deux racines de l'équation l-f-5c''=0, sera 



n 



(—iy.2 ou 0 

 suivant que n est divisible ou non divisible par 2. 



La somme des n™^' puissances des trois racines de l'équation l-i-5c'=0, sera 



n 



(—1)^.3 ou 0 



