Sur les sommes des diviseurs des nombres. 293 



suivant que n est divisible ou non divisible par 3, ainsi de suite, jusqu'à 

 ce que l'on arrive à l'équation i-h-x" = 0 , pour laquelle la somme des 

 puissances n^""^' sera toujours égale à 



Pour ce qui concerne les équations suivantes , nommément 



i-i-x"+\= 0, l-t-X^+^^r 0, 1-4-^" ^^= 0, i-^x"+''=0,. . . . 



il est évident que la somme des puissances n*"^^ de leurs racines se réduira 

 à zéro. En effet, si l'on considère les équations (27), et que l'on observe 

 que pour l'équation l-i-a;"+'"=: 0, on a Aj=i, Ai=A^=y4^= . . .—A^^=0, 

 on en conclura immédiatement que 



L'égalité {^k) est une conséquence immédiate de ce que nous venons 

 de dire. En mettant cette valeur de s^^ dans l'équation (33), nous obtien- 

 drons pour la somme cherchée l'expression suivante: 



S^=^fn-^2^-^f^''\D\n). (35) 

 Cette formule se simplifie encore dans le cas de n impair. En effet, 

 comme dans cette hypothèse J){n) et D\n) seront toujours impairs, on aura 

 constamment ( — 1)^^*^^= — 1; par conséquent, on arrivera à ce résultat re- 

 marquable par sa simplicité 



= /n—2ED '(n) = /n—2/n = —fn. (36) 

 La formule (35) donnera encore lieu à des simplifications pour des 

 formes particulières du nombre n. Ainsi, par exemple > si l'on supposait 

 n=2'", on aurait pour la série des diviseurs conjugués de n: 



D{2") 2", 2"-\ 2"-% 2^ 2S 1 



D'{2")...A, 2, 2^ 2"-^ 2"-*, 2"; 



donc 



1)^(2") ^,^2") = i_^2-4-2'-H. . .-i-2"-^-i-2"-^— 2"= —i. 



