MÉMOIRE 



SUR 



LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 



RELATIVES AU PROBLÈME DES ISOPÉRIMÈTRES. 



PAR 



Lu le 17 (29) novembre 1848. 



Nous développons dans ce mémoire des conséquences importantes, jusqu'à 

 présent inaperçues, dérivant de la forme sous laquelle se présente la va- 

 riation d'une quantité, qui renferme, avec la variable principale ou indépen- 

 dante, plusieurs fonctions de cette variable et leurs dérivées des différents 

 ordres. Pour faciliter le discours, nous appellerons A la quantité dont il 

 s'agit, et nous donnerons le nom de temps à la variable indépendante. La 

 dernière dénomination se justifie par ce que cette variable joue dans notre 

 mémoire à peu près le même rôle que le temps dans la Dynamique. 



On sait que la variation de la quantité A qui dépend du temps , de 

 fonctions quelconques du temps et de leurs dérivées, se résout en deux par- 

 ties distinctes. La première est une différentielle exacte, quelles que soient 

 les fonctions du temps que A renferme, et quelles que soient les variations 

 de ces fonctions. L'autre partie, au contraire, n'est point intégrable, tant que 

 les fonctions et les variations qu'on vient de nommer, restent arbitraires. 

 Mais en les assujettissant à des conditions convenables, non seulement on 

 rendrait cette partie intégrable, mais on pourrait la faire disparaître si on 



le jugeait nécessaire. Or, parmi une infinité de manières prof>res à ce der- 



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